.RU

§ 2. Простейшие модели механической колебательной системы. Собственные колебания таких систем


^ § 2. Простейшие модели механической колебательной системы. Собственные колебания таких систем
Напомним в начале некоторые основные понятия из теории колебаний. В линейных колебательных системах известны два вида колебаний: собственные и вынужденные.

Собственные колебания происходят в изолированных колебательных системах вследствие какого-либо начального возмущения; в процессе самих собственных колебаний никакие внешние дополнительные возмущения на систему не действуют.

Обычно собственные колебания из-за наличия сопротивлений среды с течением времени затухают (прекращаются). Системы, в которых энергия колебаний расходуется на преодоление сопротивлений среды, называют диссипативными, а системы, у которых энергия в окружающую среду не рассеивается — консервативными.

Вынужденные колебания в колебательных системах возникают тогда, когда на систему все время действуют возмущающие силы.

Полнее всего изучены, так называемые, гармонические колебания систем, которые описываются обычно уравнением


z = A sin (vt+), (1.3)


где z — величина перемещений в колебательном процессе;

A — амплитуда колебаний;'

vt+ — фаза колебаний;

v — угловая частота колебаний;

t — время;

 — начальная фаза колебаний.

Напомним, что периодом колебаний Т (в сек) называют промежуток времени, за который какой-то элемент системы совершает полный цикл колебаний, после которого движение повторяется. Очевидно, это будет тогда, когда фаза колебаний изменяется на 2, т. е. v(t + T) +  = vt +  + 2.

Отсюда vТ =2.


(1.4)


Таким образом, угловой частотой колебаний называется угол (в радианах), на который изменяется фаза за время одного периода. Иногда рассматривают линейную частоту колебаний, т. е. количество периодов колебаний, происходящих в одну секунду, или


(1.5)


Из формул (1.4) и (1.5) следует, что


(1.6)


После этих основных понятий перейдем к рассмотрению собственных колебаний консервативной системы с двумя степенями свободы. Результаты изучения этой системы окажутся весьма полезными для исследований некоторых вертикальных собственных и вынужденных колебаний надрессорного строения и необрессоренных частей реальной схемы вагона. Заметим, что сравнительно недавно такая схема непосредственно применялась для изучения собственных колебаний вагонов.

Рассмотрим собственные колебания простейшей системы, показанной на рис. 7,а. Представим себе для наглядности, что




Рис. 7

— масса кузова; — масса колеса; G1 и G2 — соответственно веса верхнего и нижнего грузов; g — ускорение силы тяжести, с1 — жесткость рессоры, c2 — жесткость рельсового основания.

Поскольку здесь изображена система, где нет рассеяния энергии колебаний, то очевидно, что она относится к консервативным системам. Допустим, что этой системе дано какое-нибудь начальное возмущение (например, дано вначале перемещение массе m1) и система после этого стала колебаться. Сила инерции массы m1, очевидно, равна , где — ускорение массы m1 при ее перемещении z1 (в дальнейшем для компактности в написании мы обозначим . Внешняя сила, действующая на массу m1 в свободных колебаниях, определяется сжатием рессоры; она равна c1(z1-z2) и направлена навстречу силе I1 (Рис. 7,б), т. е.


. (1.7)


Внешними силами по отношению к массе m2 (см. рис. 7,б) являются сила, передаваемая нижним концом верхней пружины c1(z1-z2), и сила, вызванная деформацией нижней пружины — c2z2. Очевидно, что для сил, действующих на массу m2, справедливо уравнение


(1.8)


Поделив левую и правую части уравнения (1.7) на m1, a уравнения (1.8) на m2 и сгруппировав в правой части члены по z1 и z2 , получим следующую уравнений:


(1.9)


Введем следующие обозначения:


(1.10)


Рассмотрим размерность величин v1, v2, v3 или


, ,


т.е. v имеет размерность частоты.

Эти частоты называются парциональными, т. е. частичными (входящими в состав общих колебаний). В частности, частота v1 соответствует собственным колебаниям массы m1 на пружине с жесткостью c1, т. е. это собственная чаcтотa, с которой колебалась бы масса m1, если бы жесткость c2 была бесконечно большой величины (рис. 8,а). Частота v3 соответствует той собственной частоте, с которой, колебалось бы колесо, если бы жесткость c2 оказалась равной нулю (колесо оторвалось от пути), а масса m1 оказалась закрепленной (рис. 8,в). Наконец, v2 соответствует частоте колебаний массы m2 при закреплении массы m1 (рис. 8,б).



Рис. 8


Подставляя вышеуказанные обозначения (1.10) в уравнения (1.9), получим:


(1.11)


Решение этой системы дифференциальных уравнений, ищем методом подстановки, полагая


(1.12)


где А и В — амплитуды;

 — неизвестная угловая частота собственных колебаний.

Продифференцировав выражения (1.12), подставив их вторые производные в (1.11) и сократив все на sin(t + ),получим:


(1.13)


Совершенно очевидно, что эта система уравнений может дать отличные от нуля решения относительно постоянных А и В, если определитель, составленный из коэффициентов при А и В, будет равен нулю, т. е.

(1.14)


Раскрыв этот определитель, получим биквадратное уравнение относительно :


, (1.15)


откуда


. (1.16)


Таким образом, мы можем по величинам m1, m2,c1 и c2 получать главные круговые частоты собственных колебаний 1, 2; обращаем внимание на то, что они не зависят от амплитуд колебаний (величин А и В).

Итак, наша система имеет два линейно называемых решений:


первое и ;

второе и .


Поэтому общее решение уравнения (1.11) можно представить так:

колебания массы m1


(1.17)


колебания массы m2


(1.18)


Таким образом, собственные колебания массы m1 складываются из гармонических колебаний двух разных частот 1 и 2 соответственно с амплитудами А1 и А2, а собственные колебания массы m2 также составлены из этих же двух частот, но с амплитудами В1 и В2. Отсюда, очевидно, следует, что собственные частоты колебания масс m1 и m2 зависят от 1 и 2, т. е. от величины этих обеих масс и жесткостей обеих пружин (с1 и с2).

Амплитуды А1, А2, В1 и В2 не трудно определить из начальных условий. Если, например, для момента t = 0 известны 1, z1, z2, и , то из (1.17) и (1.18) следует:

(1.19)


Из этих четырех уравнений и находятся четыре неизвестных величины А1, А2, В1 и В2.

Рассмотрим приближенный способ определения частот колебаний системы, изображенной на рис. 7. Для этого обозначим отношение парциальных частот


т.е. , . (1.20)


Физически это отношение представляет собой


(1.21)


т. е. отношение жесткости верхней пружины с1 к суммарной жесткости обеих пружин с1+с2. Тогда, подставляя в (1.16) вместо , получим


(1.22)


Представим себе, что c1<
и .


Так как c1 весьма мало по сравнению с c2, то очевидно, что


, а (1.23)


Таким образом, если верхняя пружина весьма мягкая, а нижняя жесткая (т. е. c1<



Рис. 9


Расчеты показывают, что влияние c2. на частоты и ампли­туды колебаний массы т1 при жесткостях, имеющих место в рессорном подвешивании и в пути, оказывает весьма малое влияние на частоты и амплитуды колебаний кузовов вагонов; поэтому в расчетах колебаний кузовов упругостью пути обычно пренебрегают.

Заметим, что такое соотношение в жесткостях c1 и c2 всегда имеет место для подвешивания вагонов, у которых жесткость рессор c1<
Можно себе представить и другой крайний случай соотношения жесткостей, когда c1>>c2. В этом случае, как это следует из формулы (1.21)  1. Тогда по этой формуле получим


, (1.24)




Если при этом еще m1>>m2 то


(1.25)

В этом частном случае получается, что колебания массы m1 (см. формулу 1.17) выражаются приближенно так:


(1.26)


До сих пор здесь рассматривалась консервативная система, в которой отсутствуют потери энергии колебаний. В действительности же при всех колебаниях системы в ней имеет место трение, при котором энергия колебаний превращается в тепло и рассеивается в окружающее пространство. Более того, в тех случаях, когда конструкторы заинтересованы в быстром уменьшении амплитуд колебания в системе, они в конструкциях, подверженных колебаниям, специально устанавливают гасители колебаний. В частности, в рессорном подвешивании вагонов всегда предусматривается гашение колебаний тем или иным путем, а чаще всего прямой постановкой специальных гасителей колебаний. Описание конструкций гасителей колебаний в рессорном подвешивании вагонов дано в курсе «Конструкции вагонов».

Здесь же мы рассмотрим лишь классификацию гасителей, исходя из принципа: каким законом может быть выражена сила сопротивления гасителя в зависимости от тех или иных параметров колебательного процесса.

Весьма распространенными гасителями колебаний являются, так называемые, фрикционные гасители, у которых сила сопротивления колебаниям создается за счет трения каких-либо элементов гасителя. Такого типа гасители могут создавать или постоянную, или переменную величину сил трения, зависящую от величины или направления перемещения. У фрикционных гасителей сила трения всегда направлена в сторону, обратную скорости перемещения. Таким образом, если сила трения равна Fтp, то сопротивление гасителя Fгac=  Fтp sign , где — величина скорости перемещения, a sign — обозначение знака .

Если скорость положительна, то sign  = +1, и наоборот, если скорость отрицательна, то sign = –1. Таким образом, при положительном направлении скорости перемещения Fгac =  Fтp, а при отрицательном Fгac = +Fтp. Фрикционные гасители могут создавать силу сопротивления колебаниям постоянной величины вне зависимости от того, в каком направлении происходят перемещения (например, вверх или вниз). В этом случае, как и было написано выше,


Fгac =  Fтpsign (1.27)


Примером такого типа гасителей являются дисковые фрикционные гасители, применяемые в моторвагонном подвижном составе.

Имеются гасители, которые создают некоторую постоянную величину сопротивления при движений в одном направлении FВ и также постоянную, но другую величину FН движении в другом направлении.

Наиболее распространены гасители с переменными силами сопротивления, у которых сила трения, пропорциональна перемещениям, т. е.


Fтp =  k1zsign, (1.28)


где z  величина перемещения от положения равновесия колебательной системы;

k1  коэффициент пропорциональности, зависящий от конструкции гасителя.

Обычно


k1=k c, (1.29)


где   коэффициент относительного трения фрикционных гасителей колебания;

с  жесткость упругого элемента, параллельно которому присоединен гаситель;

k  коэффициент пропорциональности, показывающий какую долю усилия при сжатии рессоры на единицу перемещения гаситель преобразует в нормальные давления между трущимися элементами

К таким гасителям относятся клиновая система в рессорном подвешивании грузовых двухосных тележек ЦНИИ-Х3, листовая рессора (у последней трение возникает между листами и тем больше, чем больше сжата рессора).

Особую группу конструкций гасителей составляют гидравлические гасители. У них сопротивление пропорционально скорости перемещения элементов гасителя, т. е.


Fгас =  , (1.30)


где   коэффициент сопротивления вязкого трения гидравлических гасителей.

Могут быть гидравлические гасители, у которых сопротивление пропорционально квадрату скорости перемещения, т. е.


Fгас =  ()2sign, (1.31)


Выбор типа гасителя определяется характеристиками колебательной системы и ее конструкцией.

Рассмотрим собственные колебания простейшей колебательной системы с гидравлическим гасителем (рис. 10), работа которого описывается формулой (1.30).

Исходя из принципа Даламбера, напишем сразу уравнение для этой системы



Рис. 10


(1.32)


Решение этого уравнения ищем в виде


, (1.33)


где А и s — постоянные величины;

е — основание натуральных логарифмов;

t — время.

Возьмем первую и вторую производные от выражения (1.33):


; (1.34)


Подставляя (1.34) и (1.33) в (1.32) и сокращая на ,

получим


(1.35).


Корнями этого характеристического уравнения будут


. (1.36)


Общее решение уравнения (1.32), таким образом, можно представить в виде . A1 и A2 — произвольные постоянные интеграла дифференциального уравнения (1.32), определяемые из начальных условий. Если s1 или s2 положительны, то очевидно, что с неограниченным увеличением t неограниченно увеличивается и z; если же s1 и s2 отpицaтeльны, то с t и z0.

Обычно в практике вагоностроения β мало, т. е. имеет место случай «малого сопротивления»; при этом имеется в виду что


. (1.37)


Иначе говоря, подкоренное выражение в (1.36) представляет собой мнимое число и


, (1.38)


где - угловая частота системы с учетом сопротивления гасителя;

Таким образом,


(1.39)


Используя известные формулы Эйлера для перехода от функций вида к тригонометрическим функциям, можно показать, что


(1.40)


где А и α — постоянный величины, определяемые из начальных условий.

Здесь множитель с возрастанием времени t убывает, т. е. с увеличением t уменьшаются амплитуды колебаний.

Если (см. формулу 1.37) возрастает и, стремясь к становится равным ему, то имеет место апериодическое движение, при котором масса m, получив отклонение от состояния равновесия z, возвращалась бы в это состояние равновесия очень медленно н достигла бы его лишь при t.

Этому случаю соответствует


,


когда β = βкр — коэффициент сопротивления вязкого трения, возрастая, достиг, так называемой, критической величины.

Из предыдущей формулы следует, что


. (1.41)


Согласно «Нормам для расчета на прочность и проектирования несамоходных вагонов железных дорог РФ» принимают коэффициент сопротивления β < 0,2βкр или β < 0,4.

Определим, какая же угловая частота при этом получается


.


Таким образом, при малых значениях коэффициента β можно с погрешностью, не превосходящей 2%, считать, что т. е. такая же, как и для консервативных систем.

Как следует из (1.40), чем больше величина , тем быстрее со временем, убывает множитель , т. е. амплитуды колебаний. Поэтому величину называют коэффициентом затухания.

Иногда употребляют обратную ему величину называемую «постоянной времени» системы. Из формулы (1.40) видно, что за время τ0 величина максимальных отклонений уменьшится в е раз (примерно в три раза). Из этой формулы, также видно, что если максимальное отклонение массы в некоторое время t составляло , то через время, равное одному периоду Т, это отклонение составит .

Определим отношение этих амплитуд .

Натуральный логарифм  характеризует отношение двух последовательных амплитуд затухающих колебаний и называется логарифмическим декрементом; он равен


(1.42)


Декремент затухания — отвлеченное число.

044-362-94-40-mob-097-442-95-58-066-683-08-71.html
04zadanie-4-metodicheskie-ukazaniya-i-zadaniya-dlya-prakticheskih-zanyatij-moskva-2005.html
05-03-201-2-glavnie-novosti-sporta-5.html
05-07-2012-glavnie-novosti-sporta-4.html
05-13-01-sistemnij-analiz-upravlenie-i-obrabotka-informacii-po-otraslyam.html
05-istoriya-voprosa-kak-konstatiruyushaya-istoricheskaya-refleksiya-ee-znachenie-i-granici-istoricheskie-primeri.html
  • education.bystrickaya.ru/1-dannij-variant-teksta-enciklopedii-ne-soderzhit-grafiki-i-tablichnih-dannih-za-isklyucheniem-teksta-statej-v-kotorih-tablici-yavlyayutsya-vazhnoj-chastyu-soderzhaniya-stranica-16.html
  • paragraph.bystrickaya.ru/kodeks-etiki-auditorov.html
  • znaniya.bystrickaya.ru/rabochaya-uchebnaya-programma-po-discipline-propedevtika-detskih-boleznej-s-kursami-zdorovogo-rebenka-i-obshim-uhodom-za-detmi-dlya-specialnosti-060103-pediatriya-vsego-chasov-298.html
  • urok.bystrickaya.ru/posobie-po-speckursu-izdatelstvo-saratovskogo-universiteta-stranica-10.html
  • obrazovanie.bystrickaya.ru/prilozhenie-24-pravila-organizacii-tehnicheskogo-obsluzhivaniya-i-remonta-oborudovaniya-zdanij-i-sooruzhenij-elektrostancij.html
  • nauka.bystrickaya.ru/uchebnoe-posobie-moskva-200-8-udk-004-738-bbk-32-973-202.html
  • letter.bystrickaya.ru/ob-utverzhdenii-oblastnoj-celevoj-programmi-stranica-18.html
  • textbook.bystrickaya.ru/gosudarstvennie-i-municipalnie-sredstva-massovoj-informacii-sverdlovskoj-oblasti.html
  • urok.bystrickaya.ru/programma-mnogofunkcionalnij-kalkulyator-prednaznachena-dlya-razlichnih-vichislenij-v-tom-chisle-vichisleniya-znachenij-virazhenij-zadannih-polzovatelem-v-formulnom-vide.html
  • write.bystrickaya.ru/glava-4-televizori-bitovaya-radioapparatura-brodskij.html
  • studies.bystrickaya.ru/grazhdansko-pravovoe-regulirovanie-dogovora-stroitelnogo-podryada-chast-14.html
  • urok.bystrickaya.ru/prezidentskie-vibori-v-ssha-1792.html
  • paragraph.bystrickaya.ru/koreneva-mv-prepodavatel-kafedri-svyazej-s-obshestvennostyu-kubanskij-gosudarstvennij-universitet-fizicheskoj-kulturi-sporta-i-turizma.html
  • kolledzh.bystrickaya.ru/6-oligofreniya-uchebnik-moskva-2000.html
  • control.bystrickaya.ru/centralnij-bank-rossii-ego-funkcii-zadachi-i-puti-sovershenstvovaniya.html
  • testyi.bystrickaya.ru/adaptirovannaya-programma-kursa-okruzhayushij-mir-v-integracii-s-issledovatelskim-podhodom.html
  • learn.bystrickaya.ru/glava-tretya-bezumci.html
  • tests.bystrickaya.ru/metodicheskie-rekomendacii-po-provedeniyu-kuratorskih-chasov-v-ramkah-vnedryonnoj-v-kargtu-modeli-patrioticheskogo-vospitaniya.html
  • crib.bystrickaya.ru/httplib-strangereality-info-stranica-25.html
  • exchangerate.bystrickaya.ru/analiz-realizacii-produkcii-i-finansovih-rezultatov-oao-planeta-2.html
  • uchenik.bystrickaya.ru/bermudskij-treugolnik-klyuch-k-razgadke-a-f-chernyaev-kamni-padayut-v-nebo.html
  • exchangerate.bystrickaya.ru/elektrodinamicheskij-raschet-fotona.html
  • notebook.bystrickaya.ru/gusinoe-gorlo-viktor-dragunskij-deniskini-rasskazi.html
  • uchebnik.bystrickaya.ru/vladimir-levi-ispoved-gipnotizyora-vtryoh-knigah-stranica-13.html
  • vospitanie.bystrickaya.ru/xi-byudzhet-municipalnogo-obrazovaniya-zakonom-kamchatskoj-oblasti-ot-22-oktyabrya-2004g-224.html
  • assessments.bystrickaya.ru/bob-kimbol-nachal-svoyu-kareru-v-kompanii-coca-cola-gde-parallelno-s-torgovlej-i-poiskom-novih-klientov-on-razrabatival-uchebnie-programmi-po-torgovle-i-provodi-stranica-5.html
  • desk.bystrickaya.ru/otchyot-o-rezultatah-samoobsledovaniya-byudzhetnoe-obrazovatelnoe-uchrezhdenie-srednego-professionalnogo-obrazovaniya-vologodskoj-oblasti.html
  • esse.bystrickaya.ru/razrabotchiki-programmi-povisheniya-kvalifikacii-soloduho-n-m-dfn-professor-zav-kafedroj-filosofii-zasluzhennij-deyatel-nauki-rt-akademik-rae-rea.html
  • testyi.bystrickaya.ru/560--dle-karre-format.html
  • occupation.bystrickaya.ru/o-treh-tipah-tendencioznosti-v-istorii.html
  • spur.bystrickaya.ru/kolin-uilson-stranica-8.html
  • desk.bystrickaya.ru/polozhenie-o-podgotovke-i-poryadke-zashiti-kursovih-rabot-po-specialnosti-finansi-i-kredit-080105-65-i.html
  • thesis.bystrickaya.ru/priglasitelnij-bilet-i-programma-iii-vserossijskoj-molodezhnoj-nauchno-tehnicheskoj-konferencii-budushee-tehnicheskoj-nauki-26-27-maya-2004-g-stranica-21.html
  • kontrolnaya.bystrickaya.ru/rabochaya-programma-rabochaya-programma-pedagoga-machilskoj-eleni-nikolaevni-1-kvalifikacionnaya-kategoriya-po-geografii.html
  • znaniya.bystrickaya.ru/publikacii-po-teme-dissertacii-analiz-i-sintez-medicinskih-sistem-podderzhki-prinyatiya-reshenij-na-osnove-tehnologij.html
  • © bystrickaya.ru
    Мобильный рефератник - для мобильных людей.